Опыты Галилея: механика

«Философия природы написана в величайшей книге, которая всегда открыта перед нашими глазами, – я разумею Вселенную, но понять её сможет лишь тот, кто сначала выучит язык и постигнет письмена, которыми она написана. А написана она на языке математики…»

Галилео Галилей

 

Круг научных интересов Галилея был очень широк: он занимался проблемами конечного и бесконечного, вопросами строения вещества, астрономией, оптикой, но Галилея как основателя физики мы знаем в связи с его работами по механике и теории движения.

Для того, чтобы понять революционность механики Галилея, необходимо немного ознакомиться с теориями движения, существовавшими со времен Аристотеля до времени Галилея.

Аристотель считал, что всякое движение предполагает наличие двигателя и что движение происходит при преодолении сопротивления среды. При движении в пустоте должны достигаться бесконечно большие скорости, следовательно, оно невозможно. Движение происходит также относительно некоторой абсолютной системы координат, для которой направления «вверх» и «вниз» отличаются принципиально.

Естественно, вставал вопрос о том, как движутся брошенные тела. Аристотель считал, что, бросая тело, мы приводим в движение воздух, его окружающий, который и является двигателем. В VI в. Филопон предположил, что бросающий передает телу некую движущую субстанцию и что движение в пустоте – предельный случай движения тела в разреженной среде. Теория движущей субстанции, названной «импето», активно развивалась с XIV в. Согласно учению Бенедетти, с книгами которого скорее всего был знаком молодой Галилей, телу при бросании передавался импетус, равный произведению массы на скорость, который расходовался затем при движении.

Галилей пошел совсем другим путем. Он поставил во главу угла мысленный эксперимент и переформулировал задачу. Галилей математически строго описывает движение тела, не рассматривая его причину. Таким образом строится общее описание движения, при этом само движение может быть вызвано самыми разными причинами. Для такого описания нужно выделить в наблюдаемом процессе самое главное, общее для всех подобных процессов. В описании проделанных экспериментов Галилей всегда подчеркивает идеальность объектов, с которыми он работает – абсолютную ровность шаров, гладкость дорожек. Сочетая идеализации, точную проработку понятий с обязательным подтвержденем рассуждений экспериментами, Галилей заложил основы научного подхода к изучению явлений природы.

Приведем несколько наиболее характерных механических опытов и рассуждений Галилея.

 

Модель 1. Доказательство принципа рычага
Рис. 1. Доказательство принципа рычага

Посмотрите на схему: грузы относятся как n к m, плечи же наоборот, как m к n. Из этого примера следует принцип рычага: рычаг находится в равновесии, если произведения масс грузов на расстояния до закрепленной точки равны.

Путем рассуждений Галилей установил, что скорость падения тел не должна зависеть от их массы. Галилей рассуждал так: когда тела падают, они не давят друг на друга и одной своей частью на другие части, т. е. не взаимодействуют. Поэтому их можно представить себе отдельно существующими и связанными веревкой. Если отпустить одновременно три абсолютно одинаковых камня, то скорости их падения будут одинаковыми. Если же повторить этот опыт, соединив два из трех камней невесомой цепью (цепью, не имеющей массы), то можно говорить о падении двух тел, массы которых отличаются в два раза. Но и в этом случае скорости падения тел будут одинаковыми, поскольку цепь невесома.

Рис. 2. Пизанская башня

Проверить выводы, полученные в ходе этого мысленного эксперимента, на натурном опыте Галилею удалось в 1589 году. Ученый сбрасывал с пизанской «падающей» башни одновременно два тела, массы которых сильно отличались друг от друга – пушечное ядро массой примерно в 80 кг и мушкетную пулю, масса которой не превышала 200 г. Галилей выбрал именно эти тела не случайно: пуля и ядро имели одинаковую обтекаемую форму, и это позволяло несколько уменьшить влияние сопротивления воздуха. Результаты, полученные Галилеем, убедительно показали, что скорости, приобретаемые падающими телами, не зависят от их масс: оба тела достигали поверхности Земли одновременно.

Законы падения тел были выведены Галилеем тоже из рассуждений и проверены экспериментом. Так, рассуждением ему удалось показать, что скорость тела не может расти пропорционально пути, а только времени. Интересен графический вывод формулы пути, пройденного телом при равноускоренном движении:

S = at2 / 2.

Отложим по горизонтали одинаковые отрезки времени Δt, а по вертикали – проходимое за это время расстояние ΔS. На рисунке график для равномерного движения выделен рыжим, а для равноускоренного – синим цветом. Видно, что при равноускоренном движении тело пройдет такое же расстояние, как и при равномерном, со скоростью, равной половине конечной скорости тела.

Рис. 3. Вывод формулы для пути, проходимом при равноускоренном движении

Для проверки этого закона в эксперименте было необходимо отмечать положения падающих тел в последовательные моменты времени. Но тела падают слишком быстро, и в XVI веке еще не было приборов, позволяющих точно фиксировать положение падающих тел в определенные моменты времени. Однако Галилей придумал предельно простой способ, позволяющий как бы замедлить скорость падения тела: для эксперимента он использовал узкую доску длиной 12 локтей (примерно 5 метров) с желобом, выстлав этот желоб пергаментом для уменьшения силы трения. По желобу в доске, установленной под углом к горизонту, скатывался бронзовый шар.

Рис. 4. Фрагмент рукописи Галилея

Галилей отмечал положения шара через равные промежутки времени. Стоит отметить, что в эпоху Галилея не было точных часов и, уж тем более, секундомеров. Поэтому для отсчета промежутков времени Галилей пользовался либо собственным пульсом, либо измерял массу воды, вытекавшей из большой бочки через тонкую трубку: равные массы воды вытекали за равные промежутки времени.

В результате проведенных экспериментов удалось установить, что пути, пройденные шариком за 1, 2, 3, 4 и т. д. единицы времени, относятся друг к другу как 1 : 4 : 9 : 16. Другими словами, путь, пройденный телом при движении с постоянным ускорением, пропорционален квадрату времени.

Модель 2. Падение тел

Галилей нашел красивую геометрическую форму закона падения: под каким бы углом к горизонту не скатывалось тело, оно пересечет окружности с радиусом, пропорциональным t2, в одно и то же время. Окружность Галилей считал идеальной траекторией, по которой тело скатывается за минимальное время.

Рис. 5. Геометрическая иллюстрация закона падения

Рассуждения и эксперименты, посвященные падению тел, послужили доводами в пользу галиеевского принципа инерции. Если тело движется по наклонной плоскости вниз, оно ускоряется, если вверх, то замедляется, а если бесконечная плоскость не имеет наклона, то у движущегося по ней телу нет причины ни ускоряться, ни замедляться. Тело в таком случае находится в состоянии равномерного прямолинейного движения либо покоя.

Если Аристотель мыслил движение как изменение состояния тела, а покой – как неизменность состояния, то Галилей, в противоположность Аристотелю, сформулировал принцип, из которого следует равноценность двух состояний – покоя и движения. Этот принцип в наше время называется принципом относительности Галилея и формулируется так: механические явления происходят в любых инерциальных системах отсчета одинаково при одинаковых начальных условиях.

Принцип относительности Галилей иллюстрировал мысленными экспериментами, некоторые из которых он описывал в своей самой знаменитой книге «Диалог о двух главнейших системах мира – птолемеевой и коперниковой» (1632 г.). Галилей предлагал представить себе просторное помещение без окон под палубой корабля, и пока корабль стоит неподвижно, наблюдать, как происходят там различные механические явления. А затем наблюдать те же явления, когда корабль движется равномерно и прямолинейно. «Во всех названных явлениях, – пишет Галилей, – вы не обнаружите ни малейшего изменения и ни по одному из них не сможете установить, движется ли корабль или стоит неподвижно».

Рис. 6. Инерциальные системы отсчета. Брошенное тело падает отвесно как в неподвижной системе отсчета, так и в системе, движущейся равномерно

При изучении полета снарядов Галилей предположил, что снаряд летит по траектории, которая получается суммой двух движений – падения по вертикальной оси и равномерного движения по горизонтальной.

Рис. 7. Фрагменты рукописи Галилея – рассчеты движения по параболе
Рис. 8. Инструмент для измерения угла вылета снаряда. Нанесенные на линейку риски помогали определить траекторию полета

Галилей был ученым с разносторонними интересами. Он построил телескоп и проводил астрономические наблюдения, сконструировал и собрал термоскоп, придумал множество других устройств. Идея о применении маятника для создания часов принадлежит Галилею.

До наших дней дошел рассказ Галилея о том, как он еще в двадцатилетнем возрасте, находясь в пизанском соборе во время мессы, наблюдал за качаниями люстры. Из наблюдений он предположил, что период ее колебаний не зависит от размаха качаний. Проверяя свое предположение, Галилей измерил период колебаний люстры: он приблизительно оценил его с помощью биения собственного пульса, а, кроме того, он использовал для отсчета времени ритм звучащей в соборе музыки. Оценка показала, что времена полных колебаний люстры действительно одинаковы. Вернувшись домой, Галилей произвел следующий эксперимент: подвесил два свинцовых шара на нитях одинаковой длины и, отклоняя их от вертикали на разные углы, одновременно отпускал. Из этих опытов Галилей сделал вывод о том, что за равные промежутки времени маятник совершает одинаковое число колебаний, поэтому решил использовать маятник для создания часов. Он начал эту работу, однако не успел ее закончить.

Галилей ошибался, период маятника одинаков только для небольших углов отклонения, если амплитуда колебаний уменьшается, период изменяется. Маятниковые часы получили распространение после смерти Галилея, но их конструкция была несовершенной: неточность их хода составляла от 15 до 60 минут в сутки. И только несколько позже Х. Гюйгенс сконструировал часы, которые ходили с погрешностью не более 10 секунд в сутки, маятник в них двигался по циклоидальной траектории.

В экспериментах с маятником Галиеем установил, что груз поднимается всегда на ту же высоту, с которой был отпущен.

Рис. 9. Эксперименты Галилея с маятником, на пути веревки маятника устанавливались штырьки

Еще один замечательный эксперимент провел Галилей с целью измерить силу удара. Для этого на одну сторону рычага подвешивались один под другим два сосуда, в днище верхнего была проделана дырка. Сосуды уравновешивались грузом на другом плече рычага. Галилей считал, что, если открыть дырку в верхнем сосуде, вытекающая вода ударит в днище нижнего сосуда. Силу удара можно будет измерить с помощью груза на другом конце рычага. К удивлению Галилея, вес сосудов уменьшался (на очень короткое время, пока струя не достигнет нижнего сосуда), а затем возвращался к прежнему значению. Галилей опубликовал опыт, но не смог объяснить его. А сможете ли вы?

Рис. 10. Эксперимент, поставленный Галилеем для измерения силы удара. Вода вытекает из верхнего сосуда в нижний