Задача No. 107749

Решение

Первый случай. Пусть x, y — искомые трехзначные числа. Если к числу x приписать три нуля, то получится число 1000x, если приписать y, то получится 1000x + y.

Итак, ученик написал число 1000x + y. По условию это число в семь раз больше, чем x^.y. Получается равенство

7x^.y = 1000x + y.

(1)

Разделим обе части равенства на x:

7y = 1000 + $\displaystyle {\frac{y}{x}}$ .

Число [t] ${\frac{y}{x}}$ положительно и меньше 10, так как y $\le$ 999, x $\ge$ 100. Поэтому

1000 < 7y < 1010.

Деля это неравенство на 7, получаем

142 $\displaystyle {\textstyle\frac{6}{7}}$ < y < 144 $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{7}}$ .

Так как y — целое число, y — либо 143, либо 144. Пусть y = 143. Подставляя это значение y в равенство, получаем:

7x^.143 = 1000x + 143.

Решая это уравнение, находим x = 143. Если y = 144, то аналогичное уравнение дает x = 18, что не годится, потому что x — число из трех цифр.

Второй случай. Перепишем равенство в виде 1000x = (7x - 1)y. Нетрудно видеть, что x и 7x - 1 не имеют общих делителей, отличных от 1 и -1. Действительно, если d — общий делитель чисел x и 7x - 1, то d является делителем числа 7x, а значит, и делителем числа 1 = 7x - (7x - 1). Но 1 делится только на 1 и -1.

Итак, число 7x - 1 — делитель произведения 1000^.x и взаимно просто со вторым множителем. Тогда, по известной теореме, число 7x - 1 — делитель числа 1000. Но

7x - 1 $\displaystyle \ge$ 7^.100 - 1 = 699,

поэтому 7x - 1 = 1000 (единственный делитель числа 1000, больше либо равный 699 — это само число 1000), откуда x = 143. Подставляя x = 143 в исходное уравнение, находим y = 143.

Условие

Решение