---

Показать решение

---

Скрыть решение

Решение

Построим сначала серию решений (x_i, y_i) уравнения x² + y² + 1 = 3xy. Положим x₀ = y₀ = 1, x_i + 1 = y_i, y_i + 1 = 3y_i – x_i. Проверка: x²_{i + 1} + y²_{i + 1} + 1 = y²_i + 9y²_i – 6x_iy_i + x²_i + 1 = (x²_i + y²_i + 1 – 3x_iy_i) + 3y_i(3y_i – x_i) = 3x_i + 1y_i + 1. Для каждого решения (x_i, y_i) x_i делит 3x_iy_i – x²_i, а значит, и y²_i + 1. Аналогично, y_i делит x²_i + 1.