Рассмотрим сферу радиуса R. Сферический двуугольник – это часть сферы, высекаемая на ней двугранным углом, ребро которого проходит через центр сферы. Углом сферического двуугольника называют величину этого двугранного угла. Покажите, что площадь сферического двуугольника с углом α равна 2R²α. Сферический треугольник – это часть сферы, высекаемая на ней трехгранным углом с вершиной в центре сферы. Углами сферического треугольника называют величины двугранных углов этого трёхгранного угла. Рассмотрите двуугольники, соответствующие всем двугранным углам данного трёхгранного угла, а также симметричные им относительно центра сферы. Во сколько слоёв покрывают разные части сферы эти шесть двуугольников? Покажите, что площадь сферического треугольника с углами α, β, γ равна:

R2 (α + β + γ − π).