Пример 1

При каких значениях параметра a хотя бы одно решение уравнения 3^x + 4^x = a·5^x не превосходит числа 2?

Решение

Разделив обе части уравнения на положительное выражение 5^x, перепишем уравнение в виде: . Показательные функции и монотонно убывают на всей числовой оси, поскольку их основания расположены на интервале (0; 1). Но тогда и сумма этих функций – функция – также монотонно убывает на всей числовой оси.
Кроме того, множеством значений этой функции является луч и .
Если x₀ ≤ 2 - корень уравнения f(x) = a, то должно выполняться условие a = f(x₀) ≥ f(2) = 1, и только оно.

Ответ