Задача по физике N1553

Внутри проводящей сферы радиусом

, имеющей заряд

, концентрично с ней расположена сфера радиусом

. Внутренняя сфера тонким длинным изолированным проводом, проходящим через маленькое отверстие во внешней сфере, с помощью ключа

заземлена, как показано на рисунке. Найти максимальное количество теплоты

, которое может выделиться, если ключ

перевести в положение

, соединив тем самым внутреннюю сферу с землей через источник с ЭДС

Скрыть решение

Решение

При решении этой задачи, как обычно, будем считать, что сферы покоятся относительно инерциальной системы отсчета, находятся достаточно далеко от всех других тел, потенциал бесконечно удаленной от сфер точки (а потому и любой точки, соединенной с землей) равен нулю. Кроме того, будем считать, что диэлектрическая проницаемость среды вне и между сферами равна единице, т.к. иное специально не оговорено в условии задачи.

Поскольку внутренняя сфера соединена с ключом тонким проводом, будем, как это обычно и делается при решении подобных задач, пренебрегать электрическими зарядами на этой проволоке и ключе, т.е. будем учитывать лишь электрические поля, порождаемые зарядами на сферах. При выполнении сделанных предположений нужно считать, что в исходном состоянии, когда ключ находится в положении , потенциал внутренней сферы равен нулю, а в конечном состоянии, когда ключ находится в положении 2, равен . Следовательно, и в исходном, и в конечном состояниях на внутренней сфере должен находиться определенный заряд. Обозначим величину этого заряда в указанных состояниях и , соответственно.

Учитывая симметрию расположения сфер и сделанные предположения, можно утверждать, что электростатическое поле между сферами на расстояниях от их центра, удовлетворяющих условию , в начальном и конечном состояниях должно быть таким же, как от точечных зарядов и , соответственно, помещенных в центр сфер. Поскольку внешняя сфера изолирована, то ее полный заряд остается неизменным и равен , а поле вне сфер, т.е. при , при выполнении сделанных предположений в начальном и конечном состояниях такое же, как от точечного заряда, находящегося в центре сфер и равного и , соответственно. Следовательно, заряды и должны удовлетворять соотношениям:

$\begin{displaymath} \mathchoice{\displaystyle\frac{q}{R}}{\displaystyle\frac{q\... ...ac{q_2 }{r}} = 4 \pi \varepsilon _0 \ensuremath{\mathscr{E}}, \end{displaymath}$

где — электрическая постоянная.

Из этих соотношений следует, что после переключения ключа из положения в положение через источник должен протечь заряд . При этом сторонние электрические силы батареи совершат работу . Согласно закону сохранения энергии эта работа равна сумме приращения энергии электростатического поля, вызванного изменением заряда внутренней сферы, и энергии, выделившейся в виде тепловой, поскольку по условию задачи требуется найти максимальное значение последней, т.е. следует пренебречь энергией электромагнитного излучения.

Вычислить энергию электростатического поля, когда ключ находился в положении , можно, например, из следующих соображений. Согласно сказанному ранее, напряженность электрического поля на расстояниях от центра сферы, удовлетворяющих условию , должна быть такой же, как от точечного заряда , помещенного в ее центр, т.е.

$\begin{displaymath} {\vec {E}}\left( {\vec {\rho }} \right) = \mathchoice{\disp... ...yle\frac{q_1 {\vec {\rho }}}{4 \pi \varepsilon _0 \rho ^3}}, \end{displaymath}$

а потому разность потенциалов между внутренней и наружной сферами равна

$\begin{displaymath} \Delta \varphi _1 = \mathchoice{\displaystyle\frac{q_1 }{4 ... ...frac{q_1 \left( {R - r} \right)}{4 \pi \varepsilon _0 r R}}. \end{displaymath}$

Из этого выражения следует, что взаимная емкость рассматриваемых проводящих концентрических сфер — сферического конденсатора — равна

$\begin{displaymath} C_{in} = \mathchoice{\displaystyle\frac{q_1 }{\Delta \varph... ...- r}}{\displaystyle\frac{4 \pi \varepsilon _0 r R}{R - r}}. \end{displaymath}$

Как уже отмечалось, на внешней поверхности сферы радиусом в исходном состоянии находился заряд , а потому между этой поверхностью и достаточно удаленными от нее телами существовало электрическое поле. Рассматривая указанную поверхность как одну обкладку сферического конденсатора, другой обкладкой которого являются достаточно удаленные от нее тела, можно утверждать, что емкость этого конденсатора равна . Вспоминая, что энергия электростатического поля конденсатора емкостью , имеющего заряд , равна , из полученных выражений найдем энергию электростатических полей нашей системы в исходном ( и конечном ( состояниях:

$\begin{displaymath} W_1 = \mathchoice{\displaystyle\frac{q_1^2 }{2 C_{in} }}{\d... ...rac{q^2 \left( {R - r} \right)}{8 \pi \varepsilon _0 R^2}}, \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} W_2 = \mathchoice{\displaystyle\frac{q_2^2 }{2 C_{in} }}{\d... ...2 r + q^2 \left( {R - r} \right)}{8 \pi \varepsilon _0 R^2}}. \end{displaymath}$

Следовательно, искомое максимальное количество теплоты равно

$\begin{displaymath} Q = A + W_1 - W_2 = 2 \pi \varepsilon _0 r \ensuremath{\mathscr{E}}^2. \end{displaymath}$

Ответ