Задача No. 107758

Решение

Пусть x — вычеркнутая цифра, a — часть числа слева от x, c — часть числа справа от x, тогда число имеет вид $\overline{axc}$ . Пусть цифра x стоит на (n + 1)-м месте (считая справа). Тогда

$\displaystyle \overline{axc}$ = a^.10^{n + 1} + x^.10ⁿ + c.

После вычеркивания цифры x получится число $\overline{ac}$ = a^.10ⁿ + c. Рассмотрим отношение исходного числа к полученному

r = $\displaystyle {\frac{a\cdot 10^{n+1}+x\cdot 10^n+c}{a\cdot 10^n+c}}$ , где c < 10ⁿ.

()

Вычитая 10 из обеих частей равенства, и производя несложные преобразования, получим

r - 10 = $\displaystyle {\frac{x\cdot 10^n-9c}{a\cdot 10^n+c}}$ $\displaystyle \le$ $\displaystyle {\frac{x}{a}}$ $\displaystyle \le$ $\displaystyle {\frac{9}{a}}$ $\displaystyle \le$ 9.

Обозначим l = r - 10. Умножая последнее равенство на знаменатель и приводя подобные члены, получим:

(x - la)^.10ⁿ = (l + 9)c.

()

Если l $\le$ 0, то левая часть последнего равенства положительна, значит, l + 9 > 0. Итак,

-8 $\displaystyle \le$ l $\displaystyle \le$ 9.

Ясно также, что l $\ne$ 0 (иначе десятичная запись числа c оканчивается нулем).

Лемма. a — цифра (иными словами, a < 10).

Доказательство. Рассмотрим два случая: l > 0 и l < 0.

Пусть l > 0. Из равенства следует, что x - la > 0, значит,

a < $\displaystyle {\frac{x}{l}}$ $\displaystyle \le$ $\displaystyle {\frac{9}{l}}$ $\displaystyle \le$ 9.

Пусть l < 0, тогда

x - la = $\displaystyle {\frac{(l+9)c}{10^n}}$ < $\displaystyle {\frac{9\cdot10^n}{10^n}}$ = 9,

откуда - la < 9, так что a < 9. Лемма доказана.

Из леммы следует, что десятичная запись числа $\overline{axc}$ состоит из n + 2 цифр. Поэтому, чтобы найти максимальное исходное число, нужно найти максимальное n.

Число c по условию не оканчивается нулем, поэтому разложение c на простые множители либо не содержит двоек, либо не содержит пятерок.

1^o. Пусть разложение числа c не содержит двоек. Рассмотрим правую часть равенства. Так как 1 $\le$ l + 9 $\le$ 18, число l + 9 может делиться на 4-ю степень двойки ( l + 9 = 16), но не может делиться на 5-ю (2⁵ = 32 > 18). Поэтому n $\le$ 4. Пусть n = 4, тогда l + 9 = 16, и равенство перепишется в виде

(x - 7a)^.5⁴ = c.

Поскольку x — это цифра, то a = 1, x = 8 или x = 9. При x = 9 число c оканчивается нулем, и потому не подходит. При x = 8 получаем c = 625 и ответ

$\displaystyle \overline{axc}$ = 180625.

2^o. Пусть число c не содержит пятерок. Число l + 9 делится на степень пятерки не выше первой, поэтому n $\le$ 1, и число заведомо не будет максимальным.

Условие

Решение