---

Показать решение

---

Скрыть решение

Решение

Как обычно, будем считать систему отсчета, относительно которой покоится стержень, инерциальной. Кроме того, будем считать, что при неравномерном движении бусинки энергией электромагнитного излучения можно пренебречь, а диэлектрическую проницаемость материала стержня будем полагать равной единице, т.е. будем пренебрегать поляризацией этого стержня.

Пусть ось стержня совпадает с осью , а начало отсчета по этой оси находится в центре стержня. Тогда согласно закону Кулона при смещении бусинки от середины стержня на расстояние на бусинку будет действовать сила, направленная к положению равновесия, проекция которой на ось равна

где — электрическая постоянная. Утверждая это, мы учли, что заряды бусинки и шариков имеют одинаковый знак.

Поскольку требуется определить период малых колебаний, то нужно считать, что возможные смещения бусинки от положения равновесия во много раз меньше длины стержня. Поэтому нужно считать, что проекция действующей на смещенную от положения равновесия бусинку примерно равна . Поскольку на бусинку вдоль оси стержня не действует никаких иных сил (силами трения по условию нужно пренебречь), а действие сил тяжести компенсируется силой реакции горизонтального стержня, уравнение движение бусинки в проекции на ось имеет вид:

Непосредственной подстановкой легко убедиться, что этому уравнению удовлетворяет гармоническая функция , где амплитуда колебаний и начальная фаза этих колебаний определяются начальными условиями, а круговая частота колебаний

Поскольку период гармонической функции , то искомый период малых свободных колебаний бусинки при выполнении сделанных предположений равен

 

Ответ

.