Решение
Рассмотрим треугольники APS и BQP. Так как AP
BQ и
PS 
PQ,
то
APS = 
BQP и
ASP = 
BPQ. Аналогично,
BQP = 
CRQ = 
DSR и
BPQ = 
CQR = 
DRS. Поскольку
в прямоугольнике противоположные стороны равны, то справедливы соотношения:
PQ = RS и QR = PS, откуда вытекают равенства:
BPQ = 
DRS и
APS = 
CQR. Следовательно, AP = CR = х, BP = DR = 1 - х;
AS = CQ = y, DS = ВQ = 1 - у (мы считаем здесь сторону квадрата равной 1).
Выписанные соотношения верны, таким образом, для любого прямоугольника
PQRS, вписанного в квадрат ABCD.
Пусть теперь Р и R — любые такие точки на сторонах AB и CD
соответственно, что AP = CR = х, BP = DR = 1 - х. Если мы выберем точки Q и S
на сторонах BC и AD таким образом, чтобы выполнялись соотношения:
или
то в том и другом случае фигура PQRS будет представлять собой прямоугольник (проверьте!). В первом случае его стороны будут параллельны диагоналям квадрата, во втором случае он сам будет квадратом. Заметим теперь, что у любого другого прямоугольника, вписанного в квадрат ABCD, вершины которого Р и R лежат на сторонах AB и CD (соответственно), две другие вершины должны лежать на окружности, построенной на отрезке PR, как на диаметре, — каждая на своей полуокружности. Каждая из этих полуокружностей пересекает соответствующую сторону квадрата не более, чем в двух точках; значит, больше двух прямоугольников, вписанных в квадрат, с вершинами в точках Р и R, не существует. Вместе с тем два таких прямоугольника мы уже построили выше. Тем самым утверждение доказано.