Задача по физике N1557

Какую максимальную работу совершат сторонние силы батареи после перевода ключа

из положения

в положение

в схеме, показанной на рисунке? Емкости конденсаторов и ЭДС батареи указаны на схеме. Перед включением в схему все конденсаторы были разряжены.

Скрыть решение

Решение

Будем решать задачу, полагая, как обычно, что токами утечки конденсаторов и емкостями между элементами схемы можно пренебречь. При выполнении этого условия работа сторонних сил батареи будет максимальной, если через батарею при переключении ключа протечет максимальный заряд. Следовательно, ключ должен находиться в обоих положениях столь долго, чтобы заряды конденсаторов перестали изменяться при неизменном положении ключа.

По условию задачи конденсаторы перед включением в схему были разряжены. Когда ключ находился в положении , конденсаторы и были соединены параллельно, а конденсатор был подключен к ним последовательно. Следовательно, к батарее в момент ее соединения с конденсаторами была подключена схема, емкость которой равна

$\begin{displaymath} C_I = \mathchoice{\displaystyle\frac{\left( {C_1 + C_2 } \r... ...le\frac{\left( {C_1 + C_2 } \right) C_3 }{C_1 + C_2 + C_3 }}, \end{displaymath}$

а потому к моменту переключения ключа из положения в положение через батарею должен был протечь заряд, равный установившемуся на конденсаторе заряду . При этом конденсаторы и приобрели заряды

$\begin{displaymath} q_1 = \mathchoice{\displaystyle\frac{\ensuremath{\mathscr{E... ...le\frac{\ensuremath{\mathscr{E}}C_2 C_3 }{C_1 + C_2 + C_3 }}. \end{displaymath}$

При размыкании ключа заряды конденсаторов не изменяются, т.к. сумма разностей потенциалов между пластинами конденсаторов и остается неизменной и равной , а обкладки конденсатора оказываются изолированными друг от друга.

Когда ключ переводят в положение , через батарею за достаточно большой промежуток времени должен протечь такой заряд , чтобы выполнялось соотношение:

$\begin{displaymath} \mathchoice{\displaystyle\frac{q_1 + \Delta q}{C_1 }}{\disp... ...frac{q_1 + \Delta q}{C_2 + C_3 }} = \ensuremath{\mathscr{E}}. \end{displaymath}$

При составлении этого соотношения было учтено, что в момент перевода ключа в положение суммарный заряд соединяемых параллельно конденсаторов и равен .

Из этого соотношения следует, что

$\begin{displaymath} \Delta q = \mathchoice{\displaystyle\frac{\ensuremath{\math... ...le\frac{\ensuremath{\mathscr{E}}C_1 C_2 }{C_1 + C_2 + C_3 }}. \end{displaymath}$

Следовательно, за достаточно большой промежуток времени сторонние силы в батарее должны были, согласно определению ЭДС, совершить работу

$\begin{displaymath} A = \ensuremath{\mathscr{E}}\Delta q = \mathchoice{\display... ...frac{\ensuremath{\mathscr{E}}^2 C_1 C_2 }{C_1 + C_2 + C_3 }}. \end{displaymath}$

Полученное выражение удовлетворяет очевидным предельным случаям. 1) Работа сторонних сил батареи равна нулю, если емкость конденсатора равна нулю, т.к. в этом случаев при выполнении сделанных предположений схема остается неизменной. 2) Работа сторонних сил батареи равна нулю, если равна нулю емкость конденсатора , т.к. в этом случае при переводе ключа из положения в положение конденсаторы и отключаются от батареи. 3) Можно убедиться, что полученное выражение для искомой работы справедливо и при емкости конденсатора , равной нулю, т.к. в этом случае только при переводе ключа в положение сторонние силы совершают работу по заряду разряженных первоначально последовательно соединенных конденсаторов и .

Ответ