---

Показать решение

---

Скрыть решение

Решение

По условию задачи в отсутствие тока в обмотке соленоида шарик совершает гармонические колебания. Следовательно, нужно пренебречь действием на шарик сил сопротивления его движению и считать, что колебания шарика происходят только под действием на него силы тяжести и силы натяжения нити. По условию задачи нить является идеальной. Поэтому подвешенный на такой нити шарик — математический маятник, совершающий малые гармонические колебания. Как известно, период таких колебаний , где — длина нити, а — модуль ускорения свободного падения.

По условию задачи при включении тока в обмотку соленоида малые колебания маятника остаются гармоническими, но их период уменьшается в раз. Это может быть обусловлено только тем, что на железный шарик со стороны магнитного поля соленоида действует постоянная сила, направленная вертикально вниз.

Действительно, индукция магнитного поля вблизи оси соленоида направлена вдоль этой оси и ее модуль убывает по мере удаления от центра соленоида. Под действием магнитного поля соленоида первоначально размагниченный шарик намагничивается подобно тому, как поляризуется кусок диэлектрика при помещении его в электрическое поле. Поэтому железный шарик, намагниченный внешним полем, можно рассматривать как диполь. Известно, что диполь втягивается в область более сильного поля. Следовательно, шарик находится ближе к верхнему торцу соленоида, где индукция магнитного поля уменьшается по мере подъема от центра соленоида, причем дополнительную силу со стороны магнитного поля следует считать неизменной при всех возможных отклонениях шарика от положения равновесия.

Итак, если первоначально размагниченный железный шарик математического маятника находится несколько выше центра соленоида, по обмотке которого течет постоянный ток, то на него со стороны магнитного поля будет действовать дополнительная сила, направленная вниз. При малых отклонениях шарика от оси соленоида эта сила постоянна и направлена по вертикали вниз. Вспоминая то, как было получено выражение для периода гармонических колебаний математического маятника в однородном поле тяжести, можно утверждать, что модуль дополнительной силы, действующей на шарик со стороны магнитного поля, должен удовлетворять соотношению:

Подставляя в это соотношение значение периода и учитывая сказанное ранее о направлении силы , получим окончательный ответ:

 

Ответ

.