Задача No. 97944

Даны три неотрицательных числа a, b, c. Про них известно, что
a⁴+b⁴+c⁴< 2(a²b²+b²c²+c²a²).
а)(3) Докажите, что каждое из них не больше суммы двух других.
б)(2) Докажите, что a²+b²+c²< 2(ab+bc+ca).
в)(2) Следует ли из неравенства пункта б) исходное неравенство?

Скрыть решение

Решение

б) Преобразуем разность правой и левой частей неравенства
a⁴ + b⁴ + c⁴ ≤ 2(a²b² + b²c² + c²a²).       (*)
Обозначим эту разность через D.
D = 2(a²b² + b²c² + c²a²) – (a⁴ + b⁴ + c⁴) =
   = 4a²b² – (a² + b²)² + 2c²(a² + b²) – c⁴ =
   = (2ab)² – (a² + b² – c²)².
Если D ≥ 0, то 2ab ≥ |a² + b² – c²|. Поскольку буквы a, b, c входят в условие симметрично, можно считать, что a ≥ b ≥ c. Тогда
a² + b² + c² = |a² + b² – c²| + 2c² ≤ 2ab + 2c² ≤ 2(ab + bc + ca).
а) Продолжив преобразование разности D, можно разложить её на линейные множители:
D = (a + b + c)(a + b – c)(a – b + c)( –a + b + c).        (**)
Известно, что D ≥ 0. Кроме того, в (**) не более одной отрицательной скобки (в которой вычитается наибольшее из чисел a, b, c), так что на самом деле все скобки неотрицательны, что и требовалось доказать.
в) Ответ: не следует. Пример: a = 4, b = c = 1.

Условие

Решение