---

Показать решение

---

Скрыть решение

Решение

При решении задачи будем считать лабораторную систему отсчета, относительно которой рельсы и источник магнитного поля остаются неподвижными, инерциальной. Пусть ось этой системы отсчета направлена так, как показано на рисунке. Поскольку при движении перемычки в контуре, образованном рельсами, перемычкой и замыкающим рельсы конденсатором, изменяется поток магнитного поля, сцепленный с этим контуром, то согласно правилу потока Фарадея-Максвелла в нем возникает ЭДС индукции. Следовательно, в этом контуре должен возникнуть индукционный ток, который будет заряжать конденсатор, протекая по перемычке. Поэтому на перемычку наряду с силами тяжести , где — ускорение свободного падения, и реакции со стороны рельс будет действовать сила Ампера .

По условию задачи силами трения при движении перемычки следует пренебречь. Поэтому проекция на ось силы реакции рельс на перемычку следует считать равной нулю. По условию задачи вся система находится в сильном магнитном поле. Следовательно, можно пренебречь магнитным полем, порождаемым токами индукции, и считать, что модуль ЭДС, действующей в контуре при движении перемычки со скоростью , равен (здесь, как это принято в физике, производные функций по времени обозначены с помощью надлежащего числа точек, поставленных над символом этой функции). Под действием этой ЭДС по перемычке будет протекать ток , изменяющий заряд конденсатора.

Поскольку иное в условии задаче не оговорено, будем считать, что конденсатор был первоначально не заряжен. В соответствии с условием задачи будем пренебрегать индуктивностью и сопротивлением цепи заряда этого конденсатора. Тогда, согласно определению емкости конденсатора, нужно считать, что в тот момент, когда в указанном выше контуре действует ЭДС , т.е. скорость перемычки равна , заряд конденсатора равен . Следовательно, в этот момент в контуре течет ток .

Как известно, сила Ампера направлена перпендикулярно плоскости, в которой располагаются вектор индукции магнитного поля и ось проводника, вдоль которой по проводнику течет ток. Согласно правилу Ленца направление индукционного тока таково, что порождаемое им магнитное поле стремится скомпенсировать действие причины, приведшей к возникновению этого тока. Следовательно, сила Ампера, действующая на перемычку, направлена горизонтально и прижимает перемычку к рельсам, стремясь затормозить ее движение, т.е. направлена так, как показано на рисунке. Модуль силы Ампера равен , т.к. все участки перемычки, по которым течет ток, находятся, согласно сделанному выше предположению, в однородном вертикальном магнитном поле с индукцией .

Таким образом, перемычка вдоль оси движется под действием составляющих силы тяжести , где — модуль ускорения свободного падения, и силы Ампера . Поэтому уравнение движения перемычки имеет вид:

т.е. перемычка при выполнении сделанных предположений движется с постоянным ускорением вдоль оси :

Отсюда, учитывая, что начальная скорость перемычки , получаем, что заданное расстояние перемычка пройдет за такое время , что . Следовательно, искомое время движения перемычки при выполнении сделанных предположений должно быть равно:

 

Ответ

.