Задача по физике N1563

К двум параллельным достаточно длинным горизонтальным шинам с одной стороны подключен конденсатор емкостью

, а с другой — катушка индуктивностью

. Шины находятся в сильном однородном вертикальном магнитном поле. На шины кладут перпендикулярно им проводник, который начинают двигать с постоянным ускорением

так, как показано на рисунке. Через какое время

после начала движения проводника энергия магнитного поля в катушке окажется в

раза меньше энергии электрического поля в конденсаторе? Сопротивлением и индуктивностью проводника, шин и контактов пренебречь.

Скрыть решение

Решение

Будем решать задачу, полагая, как обычно, что шины и источник магнитного поля покоятся относительно некоторой инерциальной системы отсчета, все проводники в горизонтальном направлении имеют малую толщину, а цепь удовлетворяет условию квазистационарности: сила тока, текущего через поперечное сечение любого из элементов цепи в один и тот же момент времени, одинакова. По условию задачи шины находятся в сильном магнитном поле. Следовательно, магнитным полем, порождаемым токами в элементах заданной цепи следует пренебречь.

Пусть момент начала отсчета времени соответствует началу движения проводника с ускорением . Тогда к моменту времени скорость проводника относительно указанной системы отсчета станет равной . При этом за счет действия магнитной составляющей силы Лоренца на свободные носители вдоль оси проводника будет действовать сила, эквивалентная действию на них электрического поля, модуль напряженности которого в любой точке этого проводника равен , т.к. линии индукции внешнего магнитного поля перпендикулярны скорости движения проводника. Следовательно, между шинами будет действовать ЭДС, модуль которой равен , где — расстояние между точками, в которых движущийся проводник контактирует с шинами.

Поскольку сопротивлением и индуктивностью проводника, шин и контактов по условию задачи следует пренебречь, разность потенциалов между обкладками конденсатора в момент времени равна . Следовательно, в момент времени энергия электрического поля в конденсаторе должна быть равна

$\begin{displaymath} W_C \left( t \right) = 0{,}5 C \ensuremath{\mathscr{E}}^2\left( t \right) = 0{,}5 C B^2l^2a^2t^2. \end{displaymath}$

В этот момент времени модуль напряжения между выводами катушки так же будет равен . По условию задачи индуктивность катушки следует считать постоянной, а ее сопротивлением следует пренебречь. Поэтому модуль напряжения между ее выводами при модуле скорости изменения тока в ней удовлетворяет соотношению: .

Учитывая, что в начальный момент ток в катушке отсутствовал, а скорость нарастания тока прямо пропорциональна времени, можно утверждать, что в момент времени сила тока в катушке при выполнении указанных ранее условий . Следовательно, энергия магнитного поля, создаваемого током в катушке в момент времени равна

$\begin{displaymath} W_L \left( t \right) = 0{,}5 L I^2\left( t \right) = {0{,}125 B^2l^2a^2t^4} / L. \end{displaymath}$

По условию задачи в искомый момент времени . Следовательно, искомый момент времени

$\begin{displaymath} \tau = 2 \sqrt {{L C} / k} = \sqrt {L C} . \end{displaymath}$

Ответ