Задача по физике N1564

Найти действующее значение силы тока, текущего через амперметр в схеме, параметры элементов которой даны на рисунке. Сопротивлением амперметра, источника и соединительных проводов пренебречь.

Скрыть решение

Решение

Как обычно, при решении задачи будем пренебрегать токами утечки в конденсаторах и индуктивностью соединительных проводов. Будем считать, что цепь удовлетворяет условию квазистационарности, а потому в любом поперечном сечении неразветвленного участка цепи в один и тот же момент времени сила тока имеет одно и то же значение. Кроме того, будем считать, что элементы рассматриваемой цепи соединены друг с другом столь давно, что все переходные процессы в цепи уже закончились. Учтем и то, что по условию задачи сопротивлением проводов нужно пренебречь.

Как известно, величина, обратная емкости батареи из двух последовательно соединенных конденсаторов и , равна сумме величин, обратных емкостям этих конденсаторов: . Емкость же батареи из параллельно соединенных конденсаторов и равна сумме емкостей этих конденсаторов: . Вспомнив это, и учитывая, что по условию задачи внутренним сопротивлением амперметра нужно пренебречь, легко показать, что к источнику гармонического напряжения через резистор подключена батарея емкостью .

Поскольку напряжение между клеммами источника изменяется по гармоническому закону, а емкости конденсаторов и сопротивление резистора следует считать неизменными, токи во всех участках цепи при выполнении сделанных предположений также будут изменяться со временем по гармоническому закону. Поэтому к расчету токов в данной цепи применим метод векторных диаграмм. Так как емкостное сопротивление батареи конденсаторов равно , то амплитуда тока, текущего через источник в данной схеме, удовлетворяет соотношению:

$\begin{displaymath} I_0 = \mathchoice{\displaystyle\frac{U_0 }{\sqrt {R^2 + \le... ...ac{U_0 }{\sqrt {R^2 + \left( {2 \omega C} \right)^{ - 2}} }}. \end{displaymath}$

$\includegraphics{1564/CB_16ER6}$

Учитывая величины емкостей конденсаторов в заданной схеме, можно придти к выводу, что амплитуды токов, текущих через элементы цепи, соответствуют указанным на рисунке. Следовательно, амплитуда тока, текущего через амперметр в данной схеме, при выполнении сделанных предположений равна . Поскольку действующее значение гармонического тока в раз меньше его амплитудного значения, то искомое действующее значение силы тока, текущего через амперметр, равно

$\begin{displaymath} I_{\rm {A}} = \mathchoice{\displaystyle\frac{\omega C U_0 }... ...tyle\frac{\omega C U_0 }{4\sqrt {2 + 8 \omega ^2 C^2 R^2} }}. \end{displaymath}$

Ответ