Задача по физике N1565

Для измерения индуктивности

можно использовать электрическую цепь, схема которой показана на рисунке. Она состоит из конденсатора

известной емкости, сдвоенного реостата, амперметра

и генератора гармонического напряжения, частоту которого можно изменять в широких пределах. Процесс измерения сводится к установлению такого значения сопротивления, одинакового для обоих реостатов, при котором показания амперметра перестают изменяться при изменении частоты

генератора. Зная амплитуды напряжения

и тока

при указанном выше условии, найти

Скрыть решение

Решение

Будем считать, что рассматриваемая цепь удовлетворяет условию квазистационарности, а токами утечки в конденсаторе, сопротивлением соединительных проводов и внутренним сопротивлением амперметра можно пренебречь. Поскольку в условии задачи специально не оговаривается наличие омического сопротивления у катушки, будем пренебрегать и этим сопротивлением. Будем также считать, что параметры элементов цепи не зависят ни от приложенного к ним напряжения, ни от текущего через них тока, т.е. цепь состоит из линейных элементов. Кроме того, будем считать, что элементы цепи подключены друг к другу достаточно давно, а частоту генератора напряжения изменяют достаточно медленно. При выполнении этих предположений можно утверждать, что напряжения на элементах цепи будут изменяться во времени по гармоническому закону с частотой . С этой же частотой по гармоническому закону будут изменяться и токи, текущие через все элементы цепи.

По условию задачи, когда сопротивление каждого из реостатов становится равным определенному значению (пусть это будет , показания амперметра перестают зависеть от частоты . Следовательно, отношение амплитуды напряжения к амплитуде тока, текущего через амперметр, будет равно . Действительно, при достаточно низкой частоте емкостное сопротивление конденсатора становится значительно больше, а индуктивное сопротивление катушки значительно меньше сопротивления шунтирующих их реостатов. При увеличении же частоты генератора емкостное сопротивление конденсатора уменьшается, а индуктивное сопротивление катушки нарастает. Поэтому при выполнении сделанных предположений и достаточно высокой частоте можно считать, что конденсатор « закорачивает» шунтирующий его реостат, а током, текущим через катушку, можно пренебречь по сравнению с током, текущим через шунтирующий ее реостат. Таким образом, если сопротивление каждого из реостатов равно , то при достаточно низкой и при достаточно высокой частоте подключенная к источнику цепь ведет себя как резистор с сопротивлением , причем в широком интервале частот отношение амплитуд напряжения генератора и силы тока через амперметр .

Даже если , при выполнении сделанных предположений значения напряжения на катушке индуктивности и шунтирующем ее реостате должны быть одинаковы, как и значения напряжения на конденсаторе и шунтирующем его реостате. При этом фаза напряжения на катушке на больше фазы текущего по ней тока , т.к. . Текущий же по шунтирующему катушку реостату ток изменяется синфазно с напряжением , т.к. . Из сказанного следует, что векторная диаграмма токов, текущих по катушке и шунтирующему ее реостату, и напряжения на этих элементах имеет вид, показанный на рисунке 1. На этом рисунке символами , и обозначены амплитуды напряжения на этих элементах и токов через них. Из этого рисунка видно, что фаза напряжения на катушке опережает фазу тока на такой угол , что .

$\includegraphics{1565/resh_1565_1}$ Рис. 1.

Фаза напряжения на конденсаторе меньше фазы текущего по нему тока на , т.к. . Фазы же напряжения на конденсаторе и тока , текущего по шунтирующему конденсатор реостату, совпадают. Поэтому векторная диаграмма токов, текущих через конденсатор и шунтирующий его реостат, и напряжения на этих элементах имеет вид, показанный на рисунке 2. Следовательно, фаза суммарного тока , текущего через эти элементы, опережает фазу напряжения на них на такой угол , что .

$\includegraphics{1565/resh_1565_2}$ Рис. 2.

Вследствие выполнения условия стационарности текущий через амперметр ток удовлетворяет соотношению:

$\begin{displaymath} I\left( t \right) = I_L \left( t \right) + I_{RL} \left( t \right) = I_C \left( t \right) + I_{RC} \left( t \right),\end{displaymath}$

$\begin{displaymath} U\left( t \right) = U\sin \omega t = U_L \left( t \right) + U_C \left( t \right), \end{displaymath}$

поэтому векторная диаграмма напряжений на элементах цепи при произвольных, но равных сопротивлениях реостатов, будет иметь вид, показанный на рисунке 3. Из этого рисунка можно понять, что отношение амплитуды напряжения к амплитуде тока не будет зависеть от (как и в рассмотренных ранее предельных случаях) только при условии, что , т.е. при условии совпадения фаз и . Таким образом, при выполнении сделанных предположений и , текущий через амперметр ток и напряжение генератора должны изменяться синфазно при всех допустимых значениях .

$\includegraphics{1565/resh_1565_3}$ Рис. 3.

К этому же выводу можно придти, если учесть, что , и

$\begin{displaymath}U = \sqrt {U_L^2 + U_C^2 - 2 U_L U_C \cos \left( {\pi - \varphi _L - \varphi _C } \right)} .\end{displaymath}$

Однако при таком способе доказательства необходимости выполнения соотношения вычисления получаются довольно громоздкими, и мы их не приводим.

Выполнение соотношения эквивалентно требованию: . Поскольку , то искомое значение индуктивности при выполнении сделанных предположений удовлетворяет соотношению:

$\begin{displaymath} L = \mathchoice{\displaystyle\frac{C U^2}{I^2}}{\displaysty... ...splaystyle\frac{C U^2}{I^2}}{\displaystyle\frac{C U^2}{I^2}}. \end{displaymath}$

Ответ