0 ® 1 + 2+ … + n.

Независимо от характера взаимодействий, обуславливающих этот распад, должны выполняться два равенства:

Е = Е1 + Е2 + … + Еn,

р = р1 + р2 + … + рn.

Столкновение частиц (рис. 1, б): две частицы массами m_a и m_b, энергиями E_a и E_b и импульсами pa и pb сталкиваются и в результате образуются частицы 1, 2, …, n массами m1, m2, …, mn.

a + b ® 1 + 2 + … + n.

При этом выполнены равенства:

E_a + E_b = E1 + E2 + … + E_n,

pa + pb = p1 + p2 + … + pn.

Так как энергия и три компоненты импульса образуют вместе 4-вектор энергии-импульса частицы, то законы сохранения энергии и импульса можно совместно записать как равенство полных 4-импульсов в начале и конце процесса:

P = p1 + p2 + … + p_n (для распада);

p_a + p_b = p1 + p2 + … + p_n (для столкновений).

Каждое из этих равенств, на самом деле, есть четыре равенства, выражающие сохранение энергии и каждой из компонент полного импульса в этих процессах.

Главная идея при изучении кинематики распадов и соударений (т.е. тех свойств этих процессов, которые вытекают только из законов сохранения энергии и импульса) заключается в том, чтобы рассматривать не равенство 4-импульсов, а изучать связанные с этими равенствами величины, инвариантные относительно лоренцовских преобразований (т.е. одинаковые во всех инерциальных системах отсчета). Такими величинами являются квадраты 4-импульсов и их скалярные произведения.

В евклидовом пространстве двух измерений скалярное произведение двух векторов a и b определяется как число ab = a_xb_x + a_yb_y, которое не меняется по отношению к вращениям системы координат на плоскости.

Скалярное произведение векторов в n-мерном евклидовом пространстве определяется (по аналогии с двумерным случаем):

ab = a1b1 + a2b2 + … + a_nb_n.

В пространстве Минковского можно ввести понятие скалярного произведения 4-векторов, основываясь на той же главной идее: это скалярное произведение должно состоять из произведений компонент и быть инвариантным относительно лоренцовских преобразований. Такой величиной является

(ab) = a0b0 – a_xb_x – a_yb_y – a_zb_z = a0b0 – ab.

Инвариантность этого выражения относительно преобразований Лоренца проверяется подстановкой.

Для 4-векторов импульсов двух частиц p1(E1, p1) и p2(E2, p2) произведение раскрывается по правилу

(р1р2) = Е1Е2 – р1р2,

а квадрат 4-импульса свободной частицы массой m равен p2 = m2 (здесь принимается что с = 1).

Важнейшие примеры кинематических соотношений. Двухчастичный распад. При распаде 0 ® 1 + 2 известны массы всех частиц и нужно найти энергии вторичных частиц. Очевидно, эти энергии зависят от выбора системы отсчета. В системе, где распадающаяся частица покоится (сопутствующая система), энергии вторичных частиц будут определяться только самим типом распада и не будут содержать дополнительные слагаемые, связанные со скоростью движения сопутствующей системы отсчета.

Закон сохранения энергии-импульса в двухчастичном распаде можно записать в виде равенства 4-импульсов:

Р = р1 + р2.

Квадрат этой величины

Р2 = (р1 + р2)²,

И это справедливо в любой системе отсчета. Отсюда

Если учесть, что Р2 = М2, р1² = m1², p2² = m2², а (р1р2) = Е1Е2 – р1р2, то

M2 = m1² + m2² + 2E1E2 – 2p1p2.

Полученное равенство верно в любой инерциальной системе отсчета. Если выбрать систему отсчета, в которой начальная частица покоится (Р = 0, Е = М), то закон сохранения энергии в этой системе запишется в виде: М = Е1 + Е2, а закон сохранения импульса 0 = р1 + р2. Тогда

M2 = m1² + m2² + 2E1(M – E1) + 2р1² = m1² + m2² + 2E1(M – E1) + 2E1² – 2m1².

Отсюда

E1 = (M2 + m1² – m2²)/2M,

E2 = (M2 + m2² – m1²)/2M

(второе равенство написано из соображений симметрии). Эти формулы записаны в системе, где с = 1. Чтобы вернуться к обычным единицам, достаточно умножить правую часть на с2.

Итак, получены общие формулы для энергий вторичных частиц в сопутствующей системе, выраженные через массы частиц. Энергии вторичных частиц в любой другой системе могут быть найдены с помощью преобразования Лоренца.

Пороги рождения частиц. Пусть a + b ® 1 + 2 + … + n. Если возвести в квадрат правую и левую части формулы, выражающей закон сохранения энергии-импульса, то

(p_a + p_b)² = (p1 + p2 + … + p_n)²

и это верно в любой инерциальной системе отсчета. Более того, так как это равенство инвариантов, не меняющих своего значения при переходе из одной системы отсчета в другую, то можно рассматривать левую часть равенства в одной, а правую – в другой системе.

Важным является вопрос о пороге конкретной реакции, т.е. о той минимальной энергии, которую должна иметь налетающая частица а, чтобы указанный процесс произошел. Минимальная энергия соответствует ситуации, когда в результате распада образовались частицы, но их суммарный импульс равен нулю, а суммарная энергия равна просто сумме их масс:

(p1 + p2 + … + p_n)² = (m1 + m2 + … + m_n)².

Левую часть равенства квадратов 4-импульсов можно раскрыть в любой инерциальной системе отсчета. На практике важны две системы – лабораторная система и система центра инерции.

а) Лабораторная система. Пусть в некоторой системе частица а налетает на покоящуюся частицу b. Энергия Еb = m_b, импульс pb = 0. Следовательно (p_a + p_b)² = m_a2 + m_b2 + 2(p_ap_b) = m_a2 + m_b2 + 2m_bE_a , и основное равенство принимает вид:

m_a2 + m_b2 + 2m_bE_a = (m1 + m2 + … + m_n)²,

Отсюда и находится пороговая энергия в лабораторной системе:

Е_а⁽порог) = [(m1 + m2 + … + m_n)² – m_a2 – m_b2]/2m_b.

б) Система центра инерции. В реакции на встречных пучках (например, пучках электронов и позитронов) суммарный импульс сталкивающихся частиц равен нулю, а энергии этих частиц равны Е (так как массы сталкивающихся частиц одинаковы). Следовательно 4Е2 = (m1 + m2 + … + m_n)² или

Еци^(порог) = (m1 + m2 + … + m_n)/2.

Александр Берков

Угаров В.А. Специальная теория относительности. М., Наука, 1977
Гольданский В.И., Никитин Ю.П., Розенталь И.Л. Кинематические методы в физике высоких энергий. М., Наука, 1987