---

Показать решение

---

Скрыть решение

Подсказка

Вычислите угол AMB.

Решение

Пусть точки A" , B" и C" лежат на сторонах BC , AC и AB соответственно. Предположим, что A"C"B" = 90^o (рис.1). Из точек A" и C" отрезок BM виден под прямым углом. Значит, эти точки лежат на окружности с диаметром BM . Аналогично докажем, что точки A , M , B" и C" также лежат на одной окружности. Обоначим
A"C"B = A"MB = a, B"C"A = B"MA = b.
Поскольку
a + b = 180^o - A"C"B" = 180^o - 90^o= 90^o и

A"MB" = 180^o- ACB = 180^o- 60^o= 120^o,
то
AMB = 360^o - (a + b) - A"MB" = 360^o - 90^o - 120^o = 150^o.
Из полученных равенств также следует, что если AMB = 150^o , то
A"C"B" = 180^o - (a+b) = 360^o- AMB - A"MB" =360^o- 150^o - 120^o= 90^o.
Значит, множество точек M , для которых A"C"B" = 90^o , – есть дуга окружности, проходящей через точки A и B , вмещающая угол в 150^o . А ответом в поставленной задаче (рис.2) будет объединение трёх таких дуг (соответcmвующих случаям A" = 90^o , B" = 90^o , C" = 90^o ).