Обобщенная задача Наполеона

Так мы будем называть следующую задачу:

Восстановить n-угольник по центрам O₁, O₂, …, O_n правильных p-угольников, построенных на его сторонах и расположенных одинаковым образом относительно него.

В этом сюжете мы ее исследуем и научимся решать.

Комментарии

1. Под n-угольником мы здесь понимаем замкнутую n-звенную ломаную, а под его сторонами, естественно, звенья ломаной. Непростой вопрос о том, когда, при каком расположении данных точек эта ломаная окажется «настоящим» многоугольником, т.е. не пересекает себя, оставляем желающим для самостоятельного исследования.
2. Слова «расположенных одинаковым образом» использованы вместо слов «расположенных извне», которые иногда можно встретить в формулировке этой задачи. Дело в том, что понятие «снаружи» или «внутри» теряет смысл для произвольной (замкнутой) ломаной A₁A₂…A_n. «Одинаковым образом» означает, что при обходе вершин A₁, A₂, ..., A_n в указанном порядке все p-угольники будут лежать по одну сторону (слева или справа) относительно направления движения. Более формально, все треугольники ΔA₁A₂ O₁, ΔA₂A₃ O₂, ...,Δ A_nA₁ O_n, где O₁, O₂, ..., O_n – центры p-угольников, построенных на A₁A₂, A₂A₃, ..., A_nA₁, одинаково ориентированы, т.е. обход вершин каждого треугольника в указанном порядке (например, A₁ ® A₂ ® O₁ ® A₁) совершается в одном и том же направлении (по или против часовой стрелки). Таким образом, фактически мы рассматриваем две задачи с двумя разными направлениями обхода. Решаются они, конечно, одинаково, и для определенности будем считать, что все указанные треугольники ориентированы положительно, т.е. против часовой стрелки. При этом и сами p‑угольники положительно ориентированы, если направление их обхода задается направлением движения по соответствующему звену ломаной (A₁ ® A₂, ...).
3. В нашей задаче n, p≥ 3, но она имеет смысл и при n = 2 (n-угольник становится дважды пройденным отрезком A₁A₂, на котором построены p‑угольники с данными центрами), и при p=2 (тогда данные точки – середины сторон n-угольника).

Задания